Iloczyn wektorowy w fizyce. Wektor prostopadły
Iloczyn wektorowy najlepiej wytłumaczyć na przykładzie, dlatego nie zastanawiając się poniżej masz treść zadania oraz szczegółowe rozwiązanie.
Treść zadania:
W tym zadaniu proszą abyśmy znaleźli współrzędne wektora prostopadłego do wektora x oraz y a oprócz tego długość tego nowego prostopadłego wektora musi być równa √2. To zadanie można obliczyć tak naprawdę na dwa sposoby. Albo skorzystać z iloczynu skalarnego albo z iloczynu wektorowego. Zawsze gdy chcesz otrzymać współrzędne wektora prostopadłego to najlepiej skorzystać z iloczynu wektorowego, ponieważ on produkuje wektor prostopadły w naprawdę bardzo łatwy sposób. Wystarczy zbudować macierz jak poniżej
Na samej górze trzeba wpisać wersory i, j, k a dwa piętra niżej współrzędne obu wektorów. Jak najłatwiej rozwiązać tę macierz? Moim zdaniem najlepiej skorzystać z metody Sarrusa . Wystarczy tylko dopisać obok dwie pierwsze kolumny jak niżej:
Po czym wymnożyć wszystko na krzyż. Idąc po zielonych przekątnych wyrażenia są dodatnie a po czerwonych ujemne. Zerknij poniżej:
Otrzymaliśmy tutaj współrzędne wektora prostopadłego. Na uwagę zasługuje sposób zapisu wektora. Współrzędne wektora można podawać z wersorami i, j, k albo z przecinkami w taki standardowy sposób.
Oba zapisy są dopuszczalne i są poprawne. W taki oto sposób otrzymaliśmy współrzędne wektora, który na pewno jest prostopadły do dwóch wcześniejszych, ale to niestety nie był jedyny warunek w tym zadaniu. Oprócz tego jest napisane, że ten wektor ma mieć długość równą √2. Sprawdźmy jak długi jest ten nasz wektor.
W obliczeniach nam wyszło, że ten wektor, który w tych obliczeniach otrzymaliśmy, jest o 5 razy za długi. W tej sytuacji bierzemy współrzędne wektora i dzielimy je przez 5. Wektor o współrzędnych (1,0,-1) ma długość √2 i jest prostopadły do obu wcześniejszych wektorów.
A teraz jeszcze jeden temat. Zobacz na grafikę poniżej. Z tej grafiki widać ewidentnie, że możemy mieć w tym zadaniu dwa rozwiązania. Pierwsze, gdy wektor jest skierowany do góry a drugie rozwiązanie oczywiście gdy wektor jest przeciwnego zwrotu.
Tylko jak otrzymać to drugie rozwiązanie? Są dwie metody - jedna długa, a druga bardzo krótka. Zacznę od tej dłuższej.
Wektor przeciwnie skierowany otrzymałbyś przestawiając kolejność wektorów w macierzy tak jak poniżej. Ta metoda wiązałaby się po raz kolejny z tymi samymi dość długimi obliczeniami.
Druga metoda jest znacznie krótsza i mówi ona o tym, że jak chcesz otrzymać wektor przeciwnie skierowany to musisz zwyczajnie zamienić znaki we współrzędnych wektora. Mam tu na myśli to, że to co było wcześniej dodatnie zrobić ujemne, a to co było ujemne zrobić dodatnie i to wszystko. Jeśli tak to wektor przeciwnie skierowany, który również jest prostopadły do dwóch wcześniejszych, ma następujące oznaczenia. (-1,0,+1)
To zadanie znajdziesz na moim kanale YouTube https://www.youtube.com/watch?v=rFftCMHXY84
Oprócz tego zapraszam do mojego kursu online z tej tematyki gdzie znajdziesz dużo więcej tego typu zadań. https://fizyka-kursy.pl/kurs/wektory-ruch-po-okregu